MathLabs

Bài 1

Ta gọi một bộ 55 số nguyên là sắp được nếu các phần tử của nó có thể gán nhãn a,b,c,d,ea,b,c,d,e theo một thứ tự nào đó sao cho a−b+c−d+e=29a-b+c-d+e=29. Xác định mọi bộ 20172017 số nguyên n1,n2,…,n2017n_1,n_2,\ldots,n_{2017} sao cho nếu đặt chúng trên một vòng tròn theo thứ tự chiều kim đồng hồ, thì mọi bộ 55 số ở các vị trí liên tiếp trên vòng tròn đều sắp được.
Bước 2 trên 4: Tính chẵn lẻ tuần hoàn chu kỳ 55, do đó không đổi
Bước trướcBước tiếp
mi−mi+1+mi+2+mi+3−mi+4≡mi+mi+1+mi+2+mi+3+mi+4(mod2)  ⟹  mi≡mi+5(mod2)m_i-m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}-m_{i+4}\equiv m_i+m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}+m_{i+4}\pmod2 \implies m_i\equiv m_{i+5}\pmod2
Phân tích chi tiết

Rút gọn điều kiện sắp được theo môđun 22 (khi dấu không còn quan trọng), mọi 55 số mim_i liên tiếp thỏa mi+mi+1+mi+2+mi+3+mi+4≡0(mod2)m_i+m_{i+1}+m_{i+2}+m_{i+3}+m_{i+4}\equiv0\pmod2. So sánh điều này cho cửa sổ bắt đầu tại ii với cửa sổ bắt đầu tại i+1i+1 cho mi≡mi+5(mod2)m_i\equiv m_{i+5}\pmod2 với mọi ii. Vì gcd⁡(5,2017)=1\gcd(5,2017)=1, việc lặp lại bước nhảy 55 sẽ đi qua hết 20172017 chỉ số, nên mọi mim_i có cùng tính chẵn lẻ.