Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2017

Đề thi

Bài 1Ta gọi một bộ $5$ số nguyên là sắp được nếu các phần tử của nó có thể gán nhãn $a,b,c,d,e$ theo một thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$ . Xác định mọi bộ $2017$ số nguyên $n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$ sao cho nếu đặt chúng trên một vòng tròn theo thứ tự chiều kim đồng hồ, thì mọi bộ $5$ số ở các vị trí liên tiếp trên vòng tròn đều sắp được.Các cách giải: 1
Bài 2Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$ . Gọi $D$ là giao điểm của đường phân giác trong của $\angle BAC$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $Z$ là giao điểm của đường trung trực của $AC$ với đường phân giác ngoài của $\angle BAC$ . Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$ .Các cách giải: 1
Bài 3Gọi $A(n)$ là số dãy $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_k$ các số nguyên dương sao cho $a_1+\cdots+a_k=n$ và mỗi $a_i+1$ là một lũy thừa của hai ( $i=1,2,\ldots,k$ ). Gọi $B(n)$ là số dãy $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_m$ các số nguyên dương sao cho $b_1+\cdots+b_m=n$ và mỗi bất đẳng thức $b_j\ge2b_{j+1}$ đúng ( $j=1,2,\ldots,m-1$ ). Chứng minh rằng $A(n)=B(n)$ với mọi số nguyên dương $n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Gọi một số hữu tỉ $r$ là mạnh nếu $r$ có thể viết dưới dạng $\dfrac{p^k}{q}$ với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $p,q$ và một số nguyên $k>1$ nào đó. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương sao cho $abc=1$ . Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x+b^y+c^z$ là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b,c$ đều mạnh.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n$ là một số nguyên dương. Một cặp bộ $n$ số $(a_1,\ldots,a_n)$ và $(b_1,\ldots,b_n)$ với các phần tử nguyên được gọi là tinh tế nếu $|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1$ . Xác định số lượng lớn nhất các bộ $n$ số phân biệt với các phần tử nguyên sao cho hai bộ bất kỳ trong chúng tạo thành một cặp tinh tế.Các cách giải: 1