MathLabs

Bài 2

Cho tam giác ABCABC với AB<ACAB<AC. Gọi DD là giao điểm của đường phân giác trong của ∠BAC\angle BAC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Gọi ZZ là giao điểm của đường trung trực của ACAC với đường phân giác ngoài của ∠BAC\angle BAC. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn ABAB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADZADZ.
Bước 2 trên 6: ZDZD là đường kính, cho ZD′=ZDZD'=ZD
Bước trướcBước tiếp
∠ZAD=90∘  ⟹  ZD diameter of ⊙(AZD)  ⟹  ∠ZMD=90∘  ⟹  ZD′=ZD,ZA=ZC\angle ZAD=90^\circ \implies ZD \text{ diameter of } \odot(AZD) \implies \angle ZMD=90^\circ \implies ZD'=ZD,\quad ZA=ZC
Phân tích chi tiết

Vì phân giác trong và phân giác ngoài tại AA vuông góc nhau, ∠ZAD=90∘\angle ZAD=90^\circ, nên ZDZD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp △AZD\triangle AZD, cho ∠ZMD=90∘\angle ZMD=90^\circ. Vì MM là trung điểm của DD′DD' theo cách dựng, ZM⊥DD′ZM\perp DD' khiến ZMZM là đường trung trực của DD′DD', nên ZD′=ZDZD'=ZD. Ngoài ra ZA=ZCZA=ZC vì ZZ nằm trên đường trung trực của ACAC.