MathLabs

Bài 2

Cho tam giác ABCABC với AB<ACAB<AC. Gọi DD là giao điểm của đường phân giác trong của ∠BAC\angle BAC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Gọi ZZ là giao điểm của đường trung trực của ACAC với đường phân giác ngoài của ∠BAC\angle BAC. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn ABAB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADZADZ.
Bước 3 trên 6: Tính góc qua tứ giác nội tiếp
Bước trướcBước tiếp
α:=∠BAD=∠DAC,∠MZD=∠MAD=α, ∠AZC=2α  ⟹  ∠D′ZA=∠DZC\alpha:=\angle BAD=\angle DAC,\quad \angle MZD=\angle MAD=\alpha,\ \angle AZC=2\alpha \implies \angle D'ZA=\angle DZC
Phân tích chi tiết

Đặt α=∠BAD=∠DAC\alpha=\angle BAD=\angle DAC. Vì AZDMAZDM nội tiếp, ∠MZD=∠MAD=α\angle MZD=\angle MAD=\alpha, nên ∠D′ZD=2α\angle D'ZD=2\alpha (vì MM là trung điểm DD′DD' nên ∠D′ZM=∠MZD\angle D'ZM=\angle MZD). Ngoài ra, dùng việc ZZ nằm trên đường trung trực của ACAC cùng với ∠DAC=α\angle DAC=\alpha, ta tìm được ∠AZC=2α\angle AZC=2\alpha. Trừ ∠AZD\angle AZD từ cả ∠D′ZD\angle D'ZD và ∠AZC\angle AZC cho ∠D′ZA=∠D′ZD−∠AZD=∠AZC−∠AZD=∠DZC\angle D'ZA=\angle D'ZD-\angle AZD=\angle AZC-\angle AZD=\angle DZC.