MathLabs

Bài 2

Cho tam giác ABCABC với AB<ACAB<AC. Gọi DD là giao điểm của đường phân giác trong của ∠BAC\angle BAC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Gọi ZZ là giao điểm của đường trung trực của ACAC với đường phân giác ngoài của ∠BAC\angle BAC. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn ABAB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADZADZ.
Bước 5 trên 6: Đuổi góc cho AD′∥BDAD'\parallel BD
Bước trướcBước tiếp
β:=∠ABC=∠ADC,∠BAD′=α+β=∠ABD  ⟹  AD′∥BD\beta:=\angle ABC=\angle ADC,\quad \angle BAD'=\alpha+\beta=\angle ABD \implies AD'\parallel BD
Phân tích chi tiết

Viết β=∠ABC=∠ADC\beta=\angle ABC=\angle ADC. Cộng các góc tại AA quanh điểm đó (∠D′AZ+∠ZAD+∠DAB+∠BAD′=360∘\angle D'AZ+\angle ZAD+\angle DAB+\angle BAD'=360^\circ) và các góc trong của tứ giác AZCDAZCD (∠DCZ+∠ZAD+∠CZA+∠ADC=360∘\angle DCZ+\angle ZAD+\angle CZA+\angle ADC=360^\circ), rồi khử các số hạng bằng nhau ∠D′AZ=∠DCZ\angle D'AZ=\angle DCZ (từ sự bằng nhau) và ∠ZAD=90∘\angle ZAD=90^\circ, ∠CZA=2α\angle CZA=2\alpha, ta được ∠BAD′=α+β\angle BAD'=\alpha+\beta, bằng ∠ABD\angle ABD. Các góc so le trong bằng nhau cho AD′∥BDAD'\parallel BD.