Bài 4

Gọi một số hữu tỉ

r

là mạnh nếu

r

có thể viết dưới dạng

\dfrac{p^k}{q}

với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

p,q

và một số nguyên

k>1

nào đó. Cho

a,b,c

là các số hữu tỉ dương sao cho

abc=1

. Giả sử tồn tại các số nguyên dương

x,y,z

sao cho

a^x+b^y+c^z

là số nguyên. Chứng minh rằng

a,b,c

đều mạnh.

Bước 1 trên 5: Viết

a,b,c

dưới dạng tối giản

Bước trước Bước tiếp

a=\frac{a_1}{b_1},\ b=\frac{a_2}{b_2},\ \gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=1,\quad c=\frac{b_1b_2}{a_1a_2}

Phân tích chi tiết

Viết $a=a_1/b_1$ và $b=a_2/b_2$ dưới dạng tối giản. Vì $abc=1$ , $c=b_1b_2/(a_1a_2)$ . Quy đồng mẫu số, giả thiết $a^x+b^y+c^z$ là số nguyên trở thành tính chia hết $a_1^za_2^zb_1^xb_2^y\mid a_1^{x+z}a_2^zb_2^y+a_1^za_2^{y+z}b_1^x+b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ .