Bài 4

Gọi một số hữu tỉ

r

là mạnh nếu

r

có thể viết dưới dạng

\dfrac{p^k}{q}

với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

p,q

và một số nguyên

k>1

nào đó. Cho

a,b,c

là các số hữu tỉ dương sao cho

abc=1

. Giả sử tồn tại các số nguyên dương

x,y,z

sao cho

a^x+b^y+c^z

là số nguyên. Chứng minh rằng

a,b,c

đều mạnh.

Bước 2 trên 5: Suy ra

a_1^z\mid b_2^{y+z}

Bước trước Bước tiếp

a_1^z\mid b_1^{x+z}b_2^{y+z},\quad \gcd(a_1,b_1)=1 \implies a_1^z\mid b_2^{y+z}

Phân tích chi tiết

Vế trái của tính chia hết trên chia hết cho $a_1^z$ , và $a_1^z$ rõ ràng chia hết hai số hạng đầu ở vế phải (mỗi số hạng đã chứa thừa số $a_1^z$ ); do đó $a_1^z$ chia hết số hạng thứ ba $b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ . Vì $\gcd(a_1,b_1)=1$ , điều này buộc $a_1^z\mid b_2^{y+z}$ .