Bài 4

Gọi một số hữu tỉ

r

là mạnh nếu

r

có thể viết dưới dạng

\dfrac{p^k}{q}

với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

p,q

và một số nguyên

k>1

nào đó. Cho

a,b,c

là các số hữu tỉ dương sao cho

abc=1

. Giả sử tồn tại các số nguyên dương

x,y,z

sao cho

a^x+b^y+c^z

là số nguyên. Chứng minh rằng

a,b,c

đều mạnh.

Bước 3 trên 5: So sánh định giá tại một số nguyên tố

p\mid a_1

Bước trước Bước tiếp

p^n\Vert a_1,\ p^m\Vert b_2,\quad nz\le m(y+z),\quad p^{nz}\Vert a_1^za_2^{y+z}b_1^x,\ p^{m(y+z)}\Vert b_1^{x+z}b_2^{y+z}

Phân tích chi tiết

Cố định một số nguyên tố $p\mid a_1$ và đặt $p^n\Vert a_1$ , $p^m\Vert b_2$ (nên $n,m\ge1$ ). Từ $a_1^z\mid b_2^{y+z}$ ta được $nz\le m(y+z)$ . Vì $\gcd(a_1,b_1)=\gcd(a_2,b_2)=1$ , $p$ không chia hết $b_1$ lẫn $a_2$ , nên $p^{nz}\Vert a_1^za_2^{y+z}b_1^x$ chính xác trong khi $p^{m(y+z)}\Vert b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ chính xác.