Bài 4

Gọi một số hữu tỉ

r

là mạnh nếu

r

có thể viết dưới dạng

\dfrac{p^k}{q}

với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

p,q

và một số nguyên

k>1

nào đó. Cho

a,b,c

là các số hữu tỉ dương sao cho

abc=1

. Giả sử tồn tại các số nguyên dương

x,y,z

sao cho

a^x+b^y+c^z

là số nguyên. Chứng minh rằng

a,b,c

đều mạnh.

Bước 4 trên 5: Buộc đẳng thức

nz=m(y+z)

Bước trước Bước tiếp

nz<m(y+z) \implies p^{nz}\Vert(\text{sum}),\ nz<nz+my \implies \text{contradiction} \implies nz=m(y+z)

Phân tích chi tiết

Tính chia hết ban đầu còn cho $p^{nz+my}$ chia hết tổng $a_1^za_2^{y+z}b_1^x+b_1^{x+z}b_2^{y+z}$ . Nếu $nz<m(y+z)$ nghiêm ngặt, hai số hạng của tổng này có định giá $p$ -adic là $nz$ và $m(y+z)$ với $nz$ nhỏ hơn nghiêm ngặt, nên tổng có định giá chính xác bằng $nz$ , nhỏ hơn $nz+my$ vì $m>0$ — mâu thuẫn. Vậy $nz=m(y+z)$ .