Bài 4

Gọi một số hữu tỉ

r

là mạnh nếu

r

có thể viết dưới dạng

\dfrac{p^k}{q}

với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau

p,q

và một số nguyên

k>1

nào đó. Cho

a,b,c

là các số hữu tỉ dương sao cho

abc=1

. Giả sử tồn tại các số nguyên dương

x,y,z

sao cho

a^x+b^y+c^z

là số nguyên. Chứng minh rằng

a,b,c

đều mạnh.

Bước 5 trên 5: Kết luận

a_1

, do đó

a

, là mạnh

Bước trước Bước tiếp

k:=\frac{y+z}{\gcd(z,y+z)}>1,\quad k\mid n\ \forall p\mid a_1\implies a_1=t^k,\ \gcd(t,b_1)=1\implies a=\frac{t^k}{b_1}\text{ is powerful}

Phân tích chi tiết

Từ $nz=m(y+z)$ với $n,m$ là các số nguyên dương, chia cho $\gcd(z,y+z)$ cho thấy $n$ phải chia hết cho $k:=(y+z)/\gcd(z,y+z)$ , và $k>1$ vì $z<y+z$ . Vì điều này đúng với mọi số nguyên tố $p$ chia $a_1$ , mọi số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố của $a_1$ đều chia hết cho $k$ , nên $a_1=t^k$ với một số nguyên dương $t$ . Vì $\gcd(a_1,b_1)=1$ nên cũng có $\gcd(t,b_1)=1$ , và $a=t^k/b_1$ có đúng dạng cần thiết. Theo lập luận đối xứng (hoán đổi các biến tương ứng), $b$ và $c$ cũng mạnh.