MathLabs

Bài 5

Cho nn là một số nguyên dương. Một cặp bộ nn số (a1,…,an)(a_1,\ldots,a_n) và (b1,…,bn)(b_1,\ldots,b_n) với các phần tử nguyên được gọi là tinh tế nếu ∣a1b1+⋯+anbn∣≤1|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1. Xác định số lượng lớn nhất các bộ nn số phân biệt với các phần tử nguyên sao cho hai bộ bất kỳ trong chúng tạo thành một cặp tinh tế.
Bước 2 trên 5: Kiểm tra điều kiện tinh tế
Bước trướcBước tiếp
at most two coordinates of aibi are nonzero; same pair, opposite signs  ⟹  sum∈{−1,0,1}\text{at most two coordinates of } a_ib_i \text{ are nonzero}; \text{ same pair, opposite signs} \implies \text{sum} \in\{-1,0,1\}
Phân tích chi tiết

Với hai bộ bất kỳ trong danh sách này, mỗi bộ có nhiều nhất hai phần tử khác không, nên nhiều nhất hai trong các tích aibia_ib_i có thể khác không. Cách duy nhất để hai tích đồng thời khác không là khi cả hai bộ đều tập trung ở cùng cặp vị trí i,ji,j: so sánh (1,1)(1,1) với (1,−1)(1,-1) cho tích vô hướng 1⋅1+1⋅(−1)=01\cdot1+1\cdot(-1)=0, và bất kỳ bộ một phần tử hay bộ không nào ghép với bộ khác chỉ đóng góp nhiều nhất một tích khác không có độ lớn 11. Do đó mọi tích vô hướng đôi một đều thuộc {−1,0,1}\{-1,0,1\}, nên mọi cặp đều tinh tế.