Bài 5

Bổ đề: cho $2n+1$ bộ số thực $n$ chiều khác không phân biệt, hai bộ nào đó trong chúng $(a_1,\ldots,a_n)$ và $(b_1,\ldots,b_n)$ thỏa $a_1b_1+\cdots+a_nb_n>0$. Điều này được chứng minh bằng quy nạp trên $n$ (hiển nhiên với $n=1$, vì trong ba số thực khác không, hai số cùng dấu); ở bước quy nạp, một phép quay hệ tọa độ đưa về trường hợp một bộ là $(0,\ldots,0,1)$, và hoặc có bộ khác có phần tử cuối âm (xong), hoặc mọi bộ còn lại có phần tử cuối không âm và bỏ tọa độ đó áp dụng giả thiết quy nạp cho $2n-1$ bộ $(n-1)$ chiều thu được (cẩn thận khi hai bộ trùng nhau).