Bài 5

Giả sử $|A_i|\ge2i+1$. Nhiều nhất hai bộ trong $A_i$ có thể có phần tử khác không duy nhất ở vị trí $i$ (ba bộ như vậy sẽ buộc hai bộ cùng dấu ở đó, cho $|a_ib_i|\ge2$, vi phạm tính tinh tế); loại bỏ chúng, và đổi dấu bộ còn lại nào có tọa độ thứ $i$ âm (điều này giữ nguyên tính tinh tế). Trong số ít nhất $2i-2$ bộ còn lại, hoặc hai bộ có cùng $i-1$ tọa độ đầu (cho $a_1b_1+\cdots+a_{i-1}b_{i-1}\ge1$), hoặc bổ đề áp dụng cho các bộ $(i-1)$ chiều rút gọn của chúng cho hai bộ với $a_1b_1+\cdots+a_{i-1}b_{i-1}\ge1$. Dù trường hợp nào, cộng thêm đóng góp dương $a_ib_i\ge1$ từ tọa độ thứ $i$ cho tổng tích vô hướng ít nhất $2$, mâu thuẫn với giả thiết tinh tế. Vậy $|A_i|\le2i$, và lấy tổng theo $i$ cho $|A|\le n^2+n$, nên số lượng lớn nhất các bộ tinh tế đôi một là $1+n^2+n=n^2+n+1$, khớp với cách dựng.