Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2018

Đề thi

Bài 1Cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$ . Giả sử $H$ nằm trong tứ giác $BMNC$ và các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMH$ và $CNH$ tiếp xúc với nhau. Đường thẳng qua $H$ song song với $BC$ cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMH$ và $CNH$ lần lượt tại các điểm $K$ và $L$ . Gọi $F$ là giao điểm của $MK$ và $NL$ , và gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MHN$ . Chứng minh rằng $FJ = FA$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $f(x)$ và $g(x)$ được xác định bởi $f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}$ và $g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}$ . Chứng minh rằng $|f(x)-g(x)|>2$ với mọi số thực không nguyên $x$ thỏa mãn $0<x<2018$ .Các cách giải: 1
Bài 3Một tập hợp gồm $n$ hình vuông trên mặt phẳng được gọi là tam-liên-kết nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Mọi hình vuông đều bằng nhau. (ii) Nếu hai hình vuông có chung một điểm $P$ thì $P$ là đỉnh của cả hai hình vuông đó. (iii) Mỗi hình vuông chạm đúng ba hình vuông khác. Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ với $2018\le n\le 3018$ sao cho tồn tại một tập hợp gồm $n$ hình vuông tam-liên-kết?Các cách giải: 1
Bài 4Cho $ABC$ là tam giác đều. Từ đỉnh $A$ ta vẽ một tia hướng vào trong tam giác sao cho tia đó chạm một cạnh của tam giác. Khi tia chạm một cạnh, nó nảy ra theo định luật phản xạ, tức là nếu tới với góc định hướng $\theta$ thì đi ra với góc định hướng $180^\circ-\theta$ . Sau $n$ lần nảy, tia quay trở lại $A$ mà không bao giờ rơi vào một trong hai đỉnh còn lại. Tìm tất cả các giá trị có thể của $n$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực $s$ và $t$ , nếu $P(s)$ và $P(t)$ đều là số nguyên thì $P(st)$ cũng là số nguyên.Các cách giải: 1