Bài 5

Tìm tất cả các đa thức

P(x)

với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực

s

và

t

, nếu

P(s)

và

P(t)

đều là số nguyên thì

P(st)

cũng là số nguyên.

Bước 1 trên 8: Chuẩn hóa bằng một phép dịch và một dấu

Bước trước Bước tiếp

P(0)\in\mathbb Z;\quad \deg P=0\Rightarrow P\text{ is constant};\quad \deg P=n\ge1:\ P(x)\longmapsto \pm\big(P(x)-P(0)\big),\quad P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i,\ a_n>0

Phân tích chi tiết

Vì $P$ có hệ số nguyên, $P(0)$ tự động là số nguyên. Nếu $P$ là hằng, nó đã là một hằng số nguyên và thuộc họ kết quả cuối cùng, nên ta giả sử $\deg P=n\ge1$ . Nếu $P$ có tính chất đã nêu thì $P(x)+k$ với mọi số nguyên $k$ và $-P(x)$ cũng có tính chất đó; các giả thiết về tính nguyên không đổi. Vì vậy có thể thay $P$ bởi $\pm\big(P(x)-P(0)\big)$ để có $P(0)=0$ và hệ số bậc cao nhất $a_n$ của $P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i$ dương. Chỉ cần chứng minh $P(x)=x^n$ .