Bài 1

Với tam giác $XYZ$ có tâm nội tiếp $I$, gọi $D$ là giao điểm thứ hai của phân giác trong góc $\angle YXZ$ với đường tròn ngoại tiếp $XYZ$, tức trung điểm cung $YZ$ không chứa $X$. Vì $\angle DIY$ là góc ngoài của tam giác $IXY$ tại $I$ nên $\angle DIY=\angle IXY+\angle IYX=\tfrac12\angle X+\tfrac12\angle Y$. Mặt khác $\angle DYZ=\angle DXZ=\tfrac12\angle X$ (cùng chắn cung $DZ$) và $\angle ZYI=\tfrac12\angle Y$, nên $\angle DYI=\angle DYZ+\angle ZYI=\tfrac12\angle X+\tfrac12\angle Y=\angle DIY$. Vậy tam giác $DIY$ cân với $DI=DY$, và lập luận đối xứng cho $DI=DZ$. Ta sẽ áp dụng điều này cho tam giác $MHN$ với $D=F$ và $I=J$.