Bài 1

Cho

H

là trực tâm tam giác

ABC

. Gọi

M

và

N

lần lượt là trung điểm các cạnh

AB

và

AC

. Giả sử

H

nằm trong tứ giác

BMNC

và các đường tròn ngoại tiếp tam giác

BMH

và

CNH

tiếp xúc với nhau. Đường thẳng qua

H

song song với

BC

cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác

BMH

và

CNH

lần lượt tại các điểm

K

và

L

. Gọi

F

là giao điểm của

MK

và

NL

, và gọi

J

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

MHN

. Chứng minh rằng

FJ = FA

Bước 2 trên 7: Định vị F bên trong tam giác AMN

Bước trước Bước tiếp

F \in \operatorname{int}(\triangle AMN)

Phân tích chi tiết

Vì một phần đường tròn ngoại tiếp $BMH$ nằm ngoài tam giác $ABC$ , các điểm $K$ và $N$ nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng $AM$ ; tương tự $L$ và $M$ nằm về hai phía khác nhau của $AN$ . Ngoài ra $K$ và $L$ nằm cùng phía của $MN$ với $H$ , khác phía với $A$ . Các dữ kiện vị trí này đặt giao điểm $F$ của $MK$ và $NL$ vào bên trong tam giác $AMN$ .