MathLabs

Bài 1

Cho HH là trực tâm tam giác ABCABC. Gọi MM và NN lần lượt là trung điểm các cạnh ABAB và ACAC. Giả sử HH nằm trong tứ giác BMNCBMNC và các đường tròn ngoại tiếp tam giác BMHBMH và CNHCNH tiếp xúc với nhau. Đường thẳng qua HH song song với BCBC cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác BMHBMH và CNHCNH lần lượt tại các điểm KK và LL. Gọi FF là giao điểm của MKMK và NLNL, và gọi JJ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MHNMHN. Chứng minh rằng FJ=FAFJ = FA.
Bước 3 trên 7: Dùng tính chất trực tâm và tiếp xúc
Bước trướcBước tiếp
∠ABH=90∘−∠BAC=∠ACH,∠MHN=∠MBH+∠NCH=180∘−2∠BAC\angle ABH = 90^\circ-\angle BAC=\angle ACH,\qquad \angle MHN=\angle MBH+\angle NCH=180^\circ-2\angle BAC
Phân tích chi tiết

Vì HH là trực tâm của ABCABC, đường cao từ BB vuông góc với ACAC, cho ∠ABH=90∘−∠BAC\angle ABH=90^\circ-\angle BAC, và tương tự ∠ACH=90∘−∠BAC\angle ACH=90^\circ-\angle BAC. Vì các đường tròn ngoại tiếp BMHBMH và CNHCNH tiếp xúc nhau tại HH, các góc tạo bởi tiếp tuyến và dây tại HH kết hợp với các giá trị trên cho ∠MHN=∠MBH+∠NCH=180∘−2∠BAC\angle MHN=\angle MBH+\angle NCH=180^\circ-2\angle BAC.