MathLabs

Bài 1

Cho HH là trực tâm tam giác ABCABC. Gọi MM và NN lần lượt là trung điểm các cạnh ABAB và ACAC. Giả sử HH nằm trong tứ giác BMNCBMNC và các đường tròn ngoại tiếp tam giác BMHBMH và CNHCNH tiếp xúc với nhau. Đường thẳng qua HH song song với BCBC cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác BMHBMH và CNHCNH lần lượt tại các điểm KK và LL. Gọi FF là giao điểm của MKMK và NLNL, và gọi JJ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MHNMHN. Chứng minh rằng FJ=FAFJ = FA.
Bước 6 trên 7: Áp dụng bổ đề cho tam giác MHN
Bước trướcBước tiếp
H,J,F are collinear,FJ=FM=FNH, J, F\ \text{are collinear}, \qquad FJ=FM=FN
Phân tích chi tiết

Vì MFNHMFNH nội tiếp với FM=FNFM=FN và FF nằm trên cung không chứa HH, FF là trung điểm cung MNMN không chứa HH, nên đường thẳng HFHF là phân giác của ∠MHN\angle MHN; vì JJ là tâm nội tiếp tam giác MHNMHN, nó nằm trên phân giác này, nên H,J,FH,J,F thẳng hàng. Áp dụng bổ đề ở bước 1 cho tam giác MHNMHN với X=HX=H, D=FD=F, I=JI=J cho FJ=FM=FNFJ=FM=FN.