MathLabs

Bài 2

Cho f(x)f(x) và g(x)g(x) được xác định bởi f(x)=1x+1x−2+1x−4+⋯+1x−2018f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018} và g(x)=1x−1+1x−3+1x−5+⋯+1x−2017g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}. Chứng minh rằng ∣f(x)−g(x)∣>2|f(x)-g(x)|>2 với mọi số thực không nguyên xx thỏa mãn 0<x<20180<x<2018.
Bước 1 trên 6: Viết f và g dưới dạng tổng
Bước trướcBước tiếp
f(x)=∑k=010091x−2k,g(x)=∑k=010081x−(2k+1)f(x)=\sum_{k=0}^{1009}\frac1{x-2k},\qquad g(x)=\sum_{k=0}^{1008}\frac1{x-(2k+1)}
Phân tích chi tiết

Hàm ff là tổng của 10101010 số hạng với độ dịch chẵn 0,2,…,20180,2,\dots,2018, còn gg là tổng của 10091009 số hạng với độ dịch lẻ 1,3,…,20171,3,\dots,2017. Cả hai không xác định đúng tại các số nguyên 0,1,…,20180,1,\dots,2018, các giá trị này bị loại theo giả thiết.