Bài 2

Cho

f(x)

và

g(x)

được xác định bởi

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

và

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

. Chứng minh rằng

|f(x)-g(x)|>2

với mọi số thực không nguyên

x

thỏa mãn

0<x<2018

Bước 3 trên 6: Dịch hai đơn vị không làm giảm d

Bước trước Bước tiếp

d(x)=g(x)-f(x),\qquad d(x+2)-d(x)=\Big(\frac1{x+1}-\frac1{x+2}\Big)-\Big(\frac1{x-2017}-\frac1{x-2018}\Big)\ge 0

Phân tích chi tiết

Đặt $d=g-f$ . Việc đánh số lại các tổng cho thấy $d(x+2)-d(x)$ rút gọn từng bậc thành đúng hiệu hai ngoặc đã nêu. Với $x$ trong khoảng liên quan, ngoặc thứ nhất dương vì $x+1<x+2$ , còn ngoặc thứ hai không dương vì cả $x-2017$ và $x-2018$ đều là số âm lớn với $x-2018$ âm hơn; do đó $d(x+2)\ge d(x)$ . Vậy trên họ khoảng $2n-1<x<2n$ , giá trị của $d$ nhỏ nhất khi $n=1$ , tức chỉ cần chứng minh $d(x)>2$ với $1<x<2$ .