Bài 2

Cho

f(x)

và

g(x)

được xác định bởi

f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018}

và

g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}

. Chứng minh rằng

|f(x)-g(x)|>2

với mọi số thực không nguyên

x

thỏa mãn

0<x<2018

Bước 4 trên 6: Tách bốn số hạng và chỉ ra phần còn lại dương

Bước trước Bước tiếp

d(x)=\underbrace{\frac1{x-1}-\frac1x-\frac1{x-2}+\frac1{x-3}}_{\text{four dominant terms}}+\sum_{k=2}^{1008}\Big(\frac1{x-(2k+1)}-\frac1{x-2k}\Big)-\frac1{x-2018}

Phân tích chi tiết

Với $1<x<2$ và $k=2,\dots,1008$ , cả $x-(2k+1)$ và $x-2k$ đều âm với $x-(2k+1)<x-2k$ , nên $\frac1{x-(2k+1)}>\frac1{x-2k}$ và mỗi số hạng trong ngoặc của tổng đều dương. Ngoài ra $x-2018<0$ nên $-\frac1{x-2018}>0$ . Do đó tổng của mọi số hạng ngoài bốn số hạng đầu là dương thực sự, nên chỉ cần chứng minh riêng bốn số hạng chính vượt quá $2$ .