MathLabs

Bài 2

Cho f(x)f(x) và g(x)g(x) được xác định bởi f(x)=1x+1x−2+1x−4+⋯+1x−2018f(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-4}+\cdots+\dfrac1{x-2018} và g(x)=1x−1+1x−3+1x−5+⋯+1x−2017g(x)=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-3}+\dfrac1{x-5}+\cdots+\dfrac1{x-2017}. Chứng minh rằng ∣f(x)−g(x)∣>2|f(x)-g(x)|>2 với mọi số thực không nguyên xx thỏa mãn 0<x<20180<x<2018.
Bước 5 trên 6: Nhóm lại bốn số hạng
Bước trướcBước tiếp
1x−1−1x−1x−2+1x−3=(1x−1+12−x)+3x(x−3)\frac1{x-1}-\frac1x-\frac1{x-2}+\frac1{x-3}=\Big(\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\Big)+\frac3{x(x-3)}
Phân tích chi tiết

Vì −1x−2=12−x-\frac1{x-2}=\frac1{2-x} và −1x+1x−3=−(x−3)+xx(x−3)=3x(x−3)-\frac1x+\frac1{x-3}=\frac{-(x-3)+x}{x(x-3)}=\frac3{x(x-3)}, bốn số hạng chính tách đúng thành tổng đã nêu gồm một cặp đối xứng và một phân số đơn.