Bài 2

Vì $(x-1)+(2-x)=1$, bất đẳng thức AM–HM cho $\frac1{x-1}+\frac1{2-x}\ge\frac{4}{(x-1)+(2-x)}=4$, đẳng thức khi $x=\tfrac32$. Với $1<x<2$, tam thức $x(x-3)$ chạy trong $[-\tfrac94,-2)$, nên $|x(x-3)|>2$ và $\frac3{x(x-3)}>-\tfrac32$. Cộng hai chặn này cho $d(x)>4-\tfrac32=\tfrac52>2$ với $1<x<2$, và theo bước 3–4 điều này chứng minh $d(x)=g(x)-f(x)>2$ trên mọi khoảng $2n-1<x<2n$; theo bước 2, cùng chặn đó (áp dụng khi đổi vai trò $f,g$) bao phủ $2n<x<2n+1$, nên $|f(x)-g(x)|>2$ với mọi $x$ không nguyên thỏa $0<x<2018$.