MathLabs

Bài 3

Một tập hợp gồm nn hình vuông trên mặt phẳng được gọi là tam-liên-kết nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Mọi hình vuông đều bằng nhau. (ii) Nếu hai hình vuông có chung một điểm PP thì PP là đỉnh của cả hai hình vuông đó. (iii) Mỗi hình vuông chạm đúng ba hình vuông khác. Có bao nhiêu số nguyên dương nn với 2018≤n≤30182018\le n\le 3018 sao cho tồn tại một tập hợp gồm nn hình vuông tam-liên-kết?
Bước 1 trên 4: Đếm các cặp chạm nhau
Bước trướcBước tiếp
#{(A,B):A∼B}=3n is even ⟹ n is even\#\{(A,B): A\sim B\}=3n\ \text{is even}\ \Longrightarrow\ n\ \text{is even}
Phân tích chi tiết

Kí hiệu A∼BA\sim B nghĩa là hai hình vuông AA và BB chạm nhau. Vì A∼BA\sim B khi và chỉ khi B∼AB\sim A, và mỗi hình vuông trong nn hình vuông chạm đúng ba hình vuông khác, số cặp có thứ tự (A,B)(A,B) với A∼BA\sim B bằng 3n3n, và số này tự động chẵn vì các cặp có thứ tự xuất hiện theo cặp đảo ngược (A,B),(B,A)(A,B),(B,A). Do đó 3n3n chẵn, nên nn chẵn.