MathLabs

Bài 4

Cho ABCABC là tam giác đều. Từ đỉnh AA ta vẽ một tia hướng vào trong tam giác sao cho tia đó chạm một cạnh của tam giác. Khi tia chạm một cạnh, nó nảy ra theo định luật phản xạ, tức là nếu tới với góc định hướng θ\theta thì đi ra với góc định hướng 180∘−θ180^\circ-\theta. Sau nn lần nảy, tia quay trở lại AA mà không bao giờ rơi vào một trong hai đỉnh còn lại. Tìm tất cả các giá trị có thể của nn.
Bước 4 trên 7: n không bao giờ là bội của ba
Bước trướcBước tiếp
a≡b(mod3), gcd⁡(a,b)=1 ⟹ 3∤na\equiv b\pmod3,\ \gcd(a,b)=1 \ \Longrightarrow\ 3\nmid n
Phân tích chi tiết

Nếu 3∣n=2(a+b)−33\mid n=2(a+b)-3 thì 3∣(a+b)3\mid(a+b). Kết hợp với a≡b(mod3)a\equiv b\pmod3 cho 2a≡a+b≡0(mod3)2a\equiv a+b\equiv0\pmod3, nên 3∣a3\mid a, và khi đó 3∣b3\mid b luôn; nhưng khi đó 33 chia hết gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1, mâu thuẫn. Vậy 3∤n3\nmid n.