Bài 5

Tìm tất cả các đa thức

P(x)

với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực

s

và

t

, nếu

P(s)

và

P(t)

đều là số nguyên thì

P(st)

cũng là số nguyên.

Bước 2 trên 8: Đạt một số nguyên tố lớn nhờ định lý giá trị trung gian

Bước trước Bước tiếp

p>\sum_{i=1}^n|a_i|,\quad p\ \text{prime},\qquad \exists\, t\in\mathbb R:\ P(t)=p

Phân tích chi tiết

Cố định một số nguyên tố $p$ lớn hơn $\sum_{i=1}^n|a_i|$ . Vì $P(0)=0$ , $P$ liên tục, và $a_n>0$ khiến $P(x)\to\infty$ khi $x\to\infty$ , định lý giá trị trung gian cho một số thực $t>0$ với $P(t)=p$ .