Bài 5

Tìm tất cả các đa thức

P(x)

với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực

s

và

t

, nếu

P(s)

và

P(t)

đều là số nguyên thì

P(st)

cũng là số nguyên.

Bước 3 trên 8: Lập ước chung lớn nhất theo nghiệm chung

Bước trước Bước tiếp

P(2)\in\mathbb Z,\ P(t)=p\in\mathbb Z\ \Longrightarrow\ P(2t)\in\mathbb Z,\qquad f(x)=\gcd\big(P(x)-p,\ P(2x)-P(2t)\big)

Phân tích chi tiết

Vì $P$ có hệ số nguyên, $P(2)$ là số nguyên; kết hợp với $P(t)=p\in\mathbb Z$ , giả thiết áp dụng cho $s=2$ cho $P(2t)\in\mathbb Z$ . Cả $P(x)-p$ và $P(2x)-P(2t)$ đều là đa thức hệ số nguyên triệt tiêu tại $x=t$ , nên ước chung lớn nhất $f(x)$ của chúng (tính trên $\mathbb Q$ ) là một đa thức không hằng với hệ số hữu tỉ chia hết cả hai.