Bài 5

Giả sử $f$ là thừa số thực sự của $P(x)-p$, tức $P(x)-p=f(x)g(x)$ với $f,g$ không hằng. Theo bổ đề Gauss có $f_1,g_1$ hệ số nguyên, là bội vô hướng của $f,g$, với $P(x)-p=f_1(x)g_1(x)$; vì $f_1(0)g_1(0)=P(0)-p=-p$ và $p$ nguyên tố, ta có thể lấy $f_1(0)=\pm1$. Nếu mọi nghiệm của $f_1$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$, thì $|f_1(0)|$ sẽ bằng hệ số bậc cao nhất của $f_1$ (một số nguyên có giá trị tuyệt đối $\ge1$) nhân với tích các độ lớn nghiệm, vượt quá $1$; điều này mâu thuẫn với $|f_1(0)|=1$. Vậy $f_1$, và do đó $P(x)-p$, có một nghiệm $r$ với $|r|\le1$.