Bài 5

Tìm tất cả các đa thức

P(x)

với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực

s

và

t

, nếu

P(s)

và

P(t)

đều là số nguyên thì

P(st)

cũng là số nguyên.

Bước 5 trên 8: Mâu thuẫn loại trừ thừa số thực sự

Bước trước Bước tiếp

P(r)=p,\qquad |P(r)|\le\sum_{i=1}^n|a_i|\,|r|^i\le\sum_{i=1}^n|a_i|<p\quad\text{(contradiction)}

Phân tích chi tiết

Vì $|r|\le1$ và $P(x)=\sum_{i=1}^n a_ix^i$ , ta có $|P(r)|\le\sum_{i=1}^n|a_i||r|^i\le\sum_{i=1}^n|a_i|<p$ theo cách chọn $p$ . Nhưng $P(r)=p$ theo bước 4, nên $p<p$ , mâu thuẫn. Vậy $f$ không thể là thừa số thực sự: $f$ là bội vô hướng của chính $P(x)-p$ , nên $\big(P(x)-p\big)\mid\big(P(2x)-P(2t)\big)$ .