Bài 5

Tìm tất cả các đa thức

P(x)

với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực

s

và

t

, nếu

P(s)

và

P(t)

đều là số nguyên thì

P(st)

cũng là số nguyên.

Bước 6 trên 8: Đối chiếu hệ số để triệt tiêu các số hạng thấp hơn

Bước trước Bước tiếp

P(2x)-P(2t)=2^n\big(P(x)-p\big)\ \Longrightarrow\ a_i(2^i-2^n)=0\ (i<n)\ \Longrightarrow\ P(x)=a_nx^n

Phân tích chi tiết

Cả hai vế đều có bậc $n$ theo $x$ ; đối chiếu hệ số bậc cao nhất ( $a_n2^n$ ở vế trái) cho thấy $P(2x)-P(2t)$ bằng đúng $2^n\big(P(x)-p\big)$ . Đối chiếu hệ số của $x^i$ với mỗi $i<n$ cho $a_i2^i=2^na_i$ , tức $a_i(2^i-2^n)=0$ ; vì $2^i\ne2^n$ với $i<n$ , điều này buộc $a_i=0$ . Vậy $P(x)=a_nx^n$ .