Bài 5

Tìm tất cả các đa thức

P(x)

với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực

s

và

t

, nếu

P(s)

và

P(t)

đều là số nguyên thì

P(st)

cũng là số nguyên.

Bước 7 trên 8: Buộc hệ số bậc cao nhất bằng 1

Bước trước Bước tiếp

a=b=a_n^{-1/n},\quad P(a)=P(b)=1\in\mathbb Z\ \Longrightarrow\ P(ab)=\frac1{a_n}\in\mathbb Z\ \Longrightarrow\ a_n=1

Phân tích chi tiết

Với $P(x)=a_nx^n$ và $a_n>0$ , đặt $a=b=a_n^{-1/n}$ , nên $P(a)=P(b)=a_n\cdot a_n^{-1}=1\in\mathbb Z$ . Giả thiết khi đó buộc $P(ab)=P(a^2)=a_n\,a_n^{-2}=1/a_n$ phải là số nguyên. Vì $a_n$ là số nguyên dương, điều này buộc $a_n=1$ .