Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2019

Đề thi

Bài 1Cho $\mathbb{Z}^+$ là tập các số nguyên dương. Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ sao cho $a^2+f(a)f(b)$ chia hết cho $f(a)+b$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $m$ là một số nguyên dương cố định. Dãy vô hạn $\{a_n\}_{n\ge1}$ được xác định như sau: $a_1$ là một số nguyên dương, và với mọi số nguyên $n\ge1$ , $a_{n+1}=a_n^2+2^m$ nếu $a_n<2^m$ , và $a_{n+1}=a_n/2$ nếu $a_n\ge2^m$ . Với mỗi $m$ , xác định tất cả các giá trị có thể của $a_1$ sao cho mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $ABC$ là tam giác không cân với đường tròn ngoại tiếp $\Omega$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Một điểm $P$ thay đổi được chọn trên đoạn $AM$ . Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPM$ và $CPM$ cắt $\Omega$ lần lượt lần thứ hai tại các điểm $D$ và $E$ . Các đường thẳng $DP$ và $EP$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CPM$ và $BPM$ lần thứ hai lần lượt tại các điểm $X$ và $Y$ . Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác $AXY$ luôn đi qua một điểm cố định $T$ khác $A$ .Các cách giải: 1
Bài 4Xét bảng $2018\times2019$ với một số nguyên được viết trong mỗi ô đơn vị. Hai ô đơn vị được gọi là láng giềng nếu chúng có chung một cạnh. Ở mỗi lượt, một số ô đơn vị được chọn; sau đó, với mỗi ô được chọn, trung bình cộng của tất cả các láng giềng của nó được tính, và cuối cùng, sau khi mọi phép tính này hoàn tất, số trong mỗi ô được chọn được thay bằng trung bình tương ứng. Có phải luôn luôn có thể làm cho các số trong mọi ô bằng nhau sau hữu hạn lượt?Các cách giải: 1
Bài 5Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho $f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)$ với mọi số thực $x$ và $y$ .Các cách giải: 1