MathLabs

Bài 2

Cho mm là một số nguyên dương cố định. Dãy vô hạn {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} được xác định như sau: a1a_1 là một số nguyên dương, và với mọi số nguyên n≥1n\ge1, an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m nếu an<2ma_n<2^m, và an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2 nếu an≥2ma_n\ge2^m. Với mỗi mm, xác định tất cả các giá trị có thể của a1a_1 sao cho mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bước 1 trên 7: Chặn phần lẻ
ai=bi2ci, bi odd;bi>2m ⟹ eventually a division of an odd number by 2a_i=b_i2^{c_i},\ b_i\ \text{odd};\qquad b_i>2^m\ \Longrightarrow\ \text{eventually a division of an odd number by }2
Phân tích chi tiết

Viết mỗi số hạng dưới dạng ai=bi2cia_i=b_i2^{c_i} với bib_i lẻ. Nếu một bi>2mb_i>2^m nào đó, thì chừng nào ci>0c_i>0 ta có ai≥bi>2ma_i\ge b_i>2^m, nên quy tắc chia đôi áp dụng và cc giảm 11 trong khi bib_i không đổi; khi cic_i đạt 00, số hạng bằng số lẻ bi>2mb_i>2^m, vẫn kích hoạt chia đôi, nhưng bib_i lẻ khiến bi/2b_i/2 không nguyên. Vậy nếu mọi số hạng đều nguyên, bi≤2mb_i\le2^m với mọi ii.