MathLabs

Bài 1

Cho Z+\mathbb{Z}^+ là tập các số nguyên dương. Xác định tất cả các hàm f:Z+→Z+f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+ sao cho a2+f(a)f(b)a^2+f(a)f(b) chia hết cho f(a)+bf(a)+b với mọi số nguyên dương aa và bb.
Bước 3 trên 6: Thay b=1 để có chặn trên
Bước trướcBước tiếp
f(a)+1∣a2−1 ⟹ f(a)≤a2−2 for a≥2f(a)+1\mid a^2-1 \ \Longrightarrow\ f(a)\le a^2-2\ \text{for}\ a\ge2
Phân tích chi tiết

Đặt b=1b=1 cho f(a)+1∣a2+f(a)f(a)+1\mid a^2+f(a). Vì a2+f(a)=(a2−1)+(f(a)+1)a^2+f(a)=\big(a^2-1\big)+\big(f(a)+1\big), điều này tương đương f(a)+1∣a2−1f(a)+1\mid a^2-1. Với a≥2a\ge2, a2−1≥3>0a^2-1\ge3>0, nên ước f(a)+1f(a)+1 không vượt quá a2−1a^2-1, cho f(a)≤a2−2f(a)\le a^2-2.