MathLabs

Bài 2

Cho mm là một số nguyên dương cố định. Dãy vô hạn {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} được xác định như sau: a1a_1 là một số nguyên dương, và với mọi số nguyên n≥1n\ge1, an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m nếu an<2ma_n<2^m, và an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2 nếu an≥2ma_n\ge2^m. Với mỗi mm, xác định tất cả các giá trị có thể của a1a_1 sao cho mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bước 3 trên 7: Phần lẻ ổn định tại 1
Bước trướcBước tiếp
{bi} bounded, non-decreasing, odd ⟹ bi=1 eventually\{b_i\}\ \text{bounded, non-decreasing, odd}\ \Longrightarrow\ b_i=1\ \text{eventually}
Phân tích chi tiết

Theo bước 1–2, {bi}\{b_i\} là dãy không giảm gồm các số nguyên dương lẻ bị chặn trên bởi 2m2^m, nên chỉ nhận hữu hạn giá trị và cuối cùng là hằng số, giả sử bi=Bb_i=B với i≥Ji\ge J. Trường hợp quy tắc lớn không thể áp dụng mãi mãi (mỗi lần dùng làm cic_i giảm 11, và ci≥0c_i\ge0), nên quy tắc nhỏ áp dụng vô hạn lần; để bib_i giữ hằng số tại các bước đó, bước 2 buộc trường hợp biên mỗi lần, đòi hỏi bi=1b_i=1. Vậy B=1B=1: cuối cùng mọi số hạng đều là lũy thừa của hai.