MathLabs

Bài 2

Cho mm là một số nguyên dương cố định. Dãy vô hạn {an}n≥1\{a_n\}_{n\ge1} được xác định như sau: a1a_1 là một số nguyên dương, và với mọi số nguyên n≥1n\ge1, an+1=an2+2ma_{n+1}=a_n^2+2^m nếu an<2ma_n<2^m, và an+1=an/2a_{n+1}=a_n/2 nếu an≥2ma_n\ge2^m. Với mỗi mm, xác định tất cả các giá trị có thể của a1a_1 sao cho mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bước 5 trên 7: Loại trừ phần lẻ 3 ngay từ đầu
Bước trướcBước tiếp
m=2:a1<4 ⇒ b1∈{1,3};b1=3 ⟹ a2=13, b2=13>4 (contradicts step 1)m=2:\quad a_1<4\ \Rightarrow\ b_1\in\{1,3\};\qquad b_1=3\ \Longrightarrow\ a_2=13,\ b_2=13>4\ (\text{contradicts step 1})
Phân tích chi tiết

Với m=2m=2, bước 1 đòi hỏi b1≤4b_1\le4, và b1b_1 lẻ cho b1∈{1,3}b_1\in\{1,3\}. Vì quy tắc lớn giữ nguyên phần lẻ, nếu b1=3b_1=3 thì dãy giữ phần lẻ 33 qua các lần chia đôi liên tiếp cho tới khi đạt số hạng a=3a=3 chính nó (khi 3<43<4); khi đó an+1=32+4=13a_{n+1}=3^2+4=13, có phần lẻ 1313 vượt quá 2m=42^m=4, mâu thuẫn bước 1. Vậy b1=1b_1=1: a1a_1 phải là lũy thừa của hai, a1=2ℓa_1=2^\ell với số nguyên ℓ≥0\ell\ge0 nào đó.