Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2021

Đề thi

Bài 1Chứng minh rằng với mỗi số thực $r>2$ , có đúng hai hoặc ba số thực dương $x$ thỏa mãn phương trình $x^2=r\lfloor x\rfloor$ . (Ở đây $\lfloor x\rfloor$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ .)Các cách giải: 1
Bài 2Với một đa thức $P$ và một số nguyên dương $n$ , định nghĩa $P_n$ là số cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho $a<b\le n$ và $|P(a)|-|P(b)|$ chia hết cho $n$ . Xác định tất cả các đa thức $P$ với hệ số nguyên sao cho $P_n\le2021$ với mọi số nguyên dương $n$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi nội tiếp và $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ , gọi $L$ là tâm đường tròn tiếp xúc với các cạnh $AB$ , $BC$ , $CD$ , và gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $\Gamma$ không chứa $A$ và $D$ . Chứng minh rằng tâm đường tròn bàng tiếp góc $E$ của tam giác $BCE$ nằm trên đường thẳng $LM$ .Các cách giải: 1
Bài 4Xét một bảng $32\times32$ . Đặt một con chuột (hướng lên trên) trong ô góc dưới bên trái và đặt các miếng phô mai vào một số ô khác. Chuột bắt đầu di chuyển: nó đi thẳng, trừ khi gặp một miếng phô mai thì ăn một phần miếng đó, rẽ phải rồi tiếp tục đi thẳng. Gọi một tập các ô có phô mai là tốt nếu trong quá trình này chuột nếm mỗi miếng phô mai đúng một lần rồi rơi khỏi bảng. Chứng minh rằng (a) không có tập tốt nào gồm $888$ ô; (b) tồn tại một tập tốt gồm ít nhất $666$ ô.Các cách giải: 1
Bài 5Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho $f(f(a)-b)+b\,f(2a)$ là số chính phương với mọi số nguyên $a$ và $b$ .Các cách giải: 1