MathLabs

第3問

ABCDABCD を円に内接する凸四角形とし、Γ\Gamma をその外接円とする。EE を対角線 ACAC と BDBD の交点とし、LL を辺 ABAB、BCBC、CDCD に接する円の中心とし、MM を AA と DD を含まない Γ\Gamma の弧 BCBC の中点とする。三角形 BCEBCE の頂点 EE に対する傍心が直線 LMLM 上にあることを証明せよ。
ステップ 5/8: 重要な角の一致
前のステップ次のステップ
∠MBL=90∘−a2=∠NCB,∠MCL=90∘−c2=∠NBC\angle MBL=90^\circ-\tfrac a2=\angle NCB,\qquad \angle MCL=90^\circ-\tfrac c2=\angle NBC
詳しい解説

前の2つの段階の BB における角を足すと、∠MBL=∠MBC+∠LBC=b2+c+d2=b+c+d2=90∘−a2\angle MBL=\angle MBC+\angle LBC=\tfrac b2+\tfrac{c+d}2=\tfrac{b+c+d}2=90^\circ-\tfrac a2 となり、これはちょうど ∠NCB\angle NCB である。対称的に、∠MCL=∠MCB+∠LCB=b2+a+d2=90∘−c2=∠NBC\angle MCL=\angle MCB+\angle LCB=\tfrac b2+\tfrac{a+d}2=90^\circ-\tfrac c2=\angle NBC となる。