アジア太平洋数学オリンピック · 2021年

問題

第1問各実数 $r>2$ に対して、方程式 $x^2=r\lfloor x\rfloor$ を満たす正の実数 $x$ がちょうど2個または3個存在することを証明せよ。（ここで $\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。）解答: 1
第2問多項式 $P$ と正整数 $n$ に対して、 $P_n$ を $a<b\le n$ かつ $|P(a)|-|P(b)|$ が $n$ で割り切れるような正整数の組 $(a,b)$ の個数と定める。すべての正整数 $n$ に対して $P_n\le2021$ となる整数係数多項式 $P$ をすべて求めよ。解答: 1
第3問 $ABCD$ を円に内接する凸四角形とし、 $\Gamma$ をその外接円とする。 $E$ を対角線 $AC$ と $BD$ の交点とし、 $L$ を辺 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ に接する円の中心とし、 $M$ を $A$ と $D$ を含まない $\Gamma$ の弧 $BC$ の中点とする。三角形 $BCE$ の頂点 $E$ に対する傍心が直線 $LM$ 上にあることを証明せよ。解答: 1
第4問 $32\times32$ の盤を考える。左下のマスに、上向きのねずみを置き、他のいくつかのマスにチーズを置く。ねずみは動き始め、チーズに到達しない限り直進するが、チーズに到達するとその一部を食べて右に曲がり、その後も直進する。この過程でねずみが各チーズをちょうど1回ずつ味わってから盤の外へ落ちるとき、チーズのあるマスの集合を良い集合と呼ぶ。(a) $888$ 個のマスからなる良い集合は存在しないこと、(b) 少なくとも $666$ 個のマスからなる良い集合が存在することを示せ。解答: 1
第5問すべての整数 $a$ 、 $b$ に対して $f(f(a)-b)+b\,f(2a)$ が平方数となるような関数 $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ をすべて求めよ。解答: 1