Bài 5

Gọi c là f(0). Thay a=0 và b=c cho c+c²=z²; phân tích hiệu hai bình phương suy ra c=0 hoặc c=−1. Nếu c=−1, thay b=f(a) cho thấy f(a)f(2a)−1 là số chính phương với mọi a. Lập luận chuẩn về ước nguyên tố của một số lớn hơn một số chính phương buộc mọi ước nguyên tố của f(a) hoặc là 2 hoặc đồng dư 1 theo môđun 4, đồng thời không có thừa số 4. Đặc biệt điều này đúng tại −4. Nhưng thay a=0 và b=3 cho f(−4)−3 là số chính phương, nên f(−4) đồng dư 3 theo môđun 4, mâu thuẫn. Vậy f(0)=0.