Bài 5

Với f(0)=0, lấy a=0 và b=−n cho thấy mọi giá trị f(n) là số chính phương. Thay b bởi f(a)−b cho mệnh đề phụ (): f(b)+(f(a)−b)f(2a) là số chính phương. Gọi S là tập không điểm. Nếu S không bị chặn trên, cố định n và chọn k thuộc S với k>f(n). Áp dụng () tại a=n,b=k khiến (f(n)−k)f(2n) là số chính phương; thừa số thứ nhất âm còn thừa số thứ hai là số chính phương, nên f(2n)=0. Vậy mọi giá trị tại số chẵn bằng 0, còn giá trị tại số lẻ có thể là các số chính phương tùy ý. Nếu S bị chặn trên, chọn số nguyên tố đủ lớn p và đặt n=(p+1)/2. Áp dụng () tại a=n,b=2n cho f(2n)(f(n)−2n+1) là số chính phương. Vì f(2n) khác 0, viết f(n)=u² ta được u²−v²=p, nên u=n và f(n)=n². Các n này không bị chặn trên. Áp dụng lập luận khoảng cách giữa các số chính phương cho () với k tùy ý lớn trong số đó, ta được f(2n) bằng 0 hoặc bằng bốn lần f(n); vì S bị chặn trên nên f(2k)=4k² với k đủ lớn. Cuối cùng (**) tại a=k,b=n cho (2k²−n)²+f(n)−n² là số chính phương với k tùy ý lớn, buộc f(n)=n² với mọi n.