Bài 1

Tìm mọi cặp

(a,b)

số nguyên dương sao cho

a^3

là bội của

b^2

, và

b-1

là bội của

a-1

. (Ở đây

n

được gọi là bội của

m

nếu

n=km

với số nguyên

k

nào đó.)

Bước 3 trên 5: Loại trường hợp c<a

Bước trước Bước tiếp

c<a\Rightarrow c=1\Rightarrow a=d^2,\ b=d^3,\quad (d^2-1)\mid(d^3-1)\Longrightarrow(d+1)\mid1\Longrightarrow d=1

Phân tích chi tiết

Nếu $c<a$ , đồng dư $c\equiv1\pmod{a-1}$ với $0<c<a$ buộc $c=1$ , nên $a^3=b^2$ . Viết $a=d^2$ , $b=d^3$ với $d$ nguyên dương, điều kiện $(a-1)\mid(b-1)$ trở thành $(d^2-1)\mid(d^3-1)$ , tức $(d-1)(d+1)\mid(d-1)(d^2+d+1)$ . Với $d>1$ , điều này rút gọn thành $(d+1)\mid(d^2+d+1)=d(d+1)+1$ , buộc $(d+1)\mid1$ , vô lý. Vậy $d=1$ , cho cặp tầm thường $a=b=1$ , đã tính ở trên.