第5問

$P=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ を負にする $4$ つ組は明らかに存在するので、$P$ の最小値は真に負である。もし $s=(a+b+c+d)/4\ne0$ なら、各変数を $-s$ だけ平行移動しても差（したがって $P$）は変わらず、$a^2+b^2+c^2+d^2$ は $1-4s^2<1$ に真に減少する。この平行移動した組を $(1-4s^2)^{-1/2}>1$ 倍すれば平方和は再び1に戻り、負の数 $P$ は $(1-4s^2)^{-2}>1$ 倍されてさらに小さくなる。よって最小値を与える組では必ず $a+b+c+d=0$ が成り立つ。