アジア太平洋数学オリンピック · 2022年

問題

第1問正の整数の組 $(a,b)$ で、 $a^3$ が $b^2$ の倍数であり、かつ $b-1$ が $a-1$ の倍数であるものをすべて求めよ。（整数 $k$ を用いて $n=km$ と書けるとき、 $n$ は $m$ の倍数であるという。）解答: 1
第2問 $\angle B=90^\circ$ である直角三角形 $ABC$ を考える。点 $D$ は直線 $CB$ 上にあり、 $B$ が $D$ と $C$ の間にあるとする。 $E$ を $AD$ の中点とし、 $F$ を $\triangle ACD$ の外接円と $\triangle BDE$ の外接円の第二の交点とする。 $D$ が動くとき、直線 $EF$ が常にある定点を通ることを示せ。解答: 1
第3問 $\{x\}$ を $x$ の小数部分とするとき、 $\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2},$ を満たす正整数 $n$ が存在するような正整数 $k<202$ をすべて求めよ。（ $\{x\}$ とは、 $x-r$ が整数となる実数 $r$ （ $0\le r<1$ ）のことである。）解答: 1
第4問 $n$ と $k$ を正の整数とする。Cathy は次のゲームを行う。 $1$ から $n$ までの番号がついた $n$ 個のビー玉と $k$ 個の箱があり、最初はすべてのビー玉が一つの箱に入っている。各手番で Cathy は一つの箱を選び、その中で最小の番号（これを $i$ とする）をもつビー玉を、空の箱か、またはビー玉 $i+1$ が入っている箱へ移す。ある時点でビー玉 $n$ だけが入った箱ができれば Cathy の勝ちである。Cathy が勝てるような整数の組 $(n,k)$ をすべて求めよ。解答: 1
第5問 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ を満たす実数 $a,b,c,d$ に対し、 $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ の最小値と、その最小値を与える $(a,b,c,d)$ をすべて求めよ。解答: 1