MathLabs

Bài 1

Cho n≥5n\ge5 là một số nguyên. Xét nn hình vuông có độ dài cạnh lần lượt là 1,2,…,n1,2,\ldots,n. Các hình vuông được xếp trên mặt phẳng sao cho các cạnh song song với trục xx và trục yy. Giả sử không có hai hình vuông nào chạm nhau, ngoại trừ có thể tại đỉnh của chúng. Chứng minh rằng có thể xếp các hình vuông này sao cho mỗi hình vuông chạm đúng hai hình vuông khác.
Bước 3 trên 3: Khép vòng khi hiệu bằng 2 và kiểm tra không chồng lấp
Bước trướcBước tiếp
(∑a∈Aa)2+(n−3)+(n−2)22=(∑b∈Bb)2+n+(n−1)22,ai+bj22≤(n−4)2<2n−322\left(\sum_{a\in A}a\right)\sqrt2+\frac{(n-3)+(n-2)}{2}\sqrt2=\left(\sum_{b\in B}b\right)\sqrt2+\frac{n+(n-1)}{2}\sqrt2,\qquad \frac{a_i+b_j}{2}\sqrt2\le(n-4)\sqrt2<\frac{2n-3}{2}\sqrt2
Phân tích chi tiết

Khi ∑a∈Aa−∑b∈Bb=2\sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b=2, gắn n−3n-3 và n−2n-2 vào chuỗi AA, còn nn và n−1n-1 vào chuỗi BB; vì (n+(n−1))−((n−3)+(n−2))=4=2⋅2(n+(n-1))-((n-3)+(n-2))=4=2\cdot2, đẳng thức đầu ở trên đúng và hai chuỗi lại khép kín tại bốn hình vuông ở góc. Trong cả hai trường hợp, khoảng cách vuông góc giữa hai đường chéo AA và BB là (n−3)+n22=2n−322\tfrac{(n-3)+n}{2}\sqrt2=\tfrac{2n-3}{2}\sqrt2, trong khi mọi ai∈Aa_i\in A và bj∈Bb_j\in B đều thỏa ai,bj≤n−4a_i,b_j\le n-4, nên ai+bj22≤(n−4)2<2n−322\tfrac{a_i+b_j}{2}\sqrt2\le(n-4)\sqrt2<\tfrac{2n-3}{2}\sqrt2. Do đó hai chuỗi song song không bao giờ chạm nhau, và mỗi hình vuông trong vòng chỉ chạm đúng hai hình vuông lân cận dọc theo chu trình.