Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2023

Đề thi

Bài 1Cho $n\ge5$ là một số nguyên. Xét $n$ hình vuông có độ dài cạnh lần lượt là $1,2,\ldots,n$ . Các hình vuông được xếp trên mặt phẳng sao cho các cạnh song song với trục $x$ và trục $y$ . Giả sử không có hai hình vuông nào chạm nhau, ngoại trừ có thể tại đỉnh của chúng. Chứng minh rằng có thể xếp các hình vuông này sao cho mỗi hình vuông chạm đúng hai hình vuông khác.Các cách giải: 1
Bài 2Tìm mọi số nguyên $n$ thỏa mãn $n\ge2$ và $\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n,$ trong đó $\sigma(n)$ ký hiệu tổng mọi ước nguyên dương của $n$ , còn $p(n)$ ký hiệu ước nguyên tố lớn nhất của $n$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho hình bình hành $ABCD$ . Gọi $W$ , $X$ , $Y$ , và $Z$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB$ , $BC$ , $CD$ , và $DA$ sao cho tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $AWZ$ , $BXW$ , $CYX$ , và $DZY$ tạo thành một hình bình hành. Chứng minh rằng $WXYZ$ là một hình bình hành.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $c>0$ là số thực dương cho trước và $\mathbb{R}_{>0}$ là tập mọi số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ sao cho $f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.$ Các cách giải: 1
Bài 5Có $n$ đoạn thẳng trên mặt phẳng, không có ba đoạn nào đồng quy, và mỗi cặp cắt nhau đúng một lần tại phần trong của mỗi đoạn. Tony và $2n-1$ người bạn đứng tại các đầu mút phân biệt của các đoạn thẳng. Tony muốn gửi quà Giáng sinh cho các bạn như sau: Trước hết, cậu chọn một đầu mút của mỗi đoạn làm "đích". Sau đó cậu đặt món quà tại đầu mút nơi mình đang đứng. Món quà di chuyển như sau: khi đang ở trên một đoạn thẳng, nó đi về phía đích của đoạn đó; khi tới giao điểm của hai đoạn thẳng, nó đổi sang đoạn thẳng kia và đi về phía đích mới. Nếu món quà tới được một đầu mút, người bạn đứng ở đầu mút đó nhận được quà. Chứng minh rằng Tony có thể gửi quà tới đúng $n$ người trong số $2n-1$ người bạn.Các cách giải: 1