MathLabs

Bài 3

Cho hình bình hành ABCDABCD. Gọi WW, XX, YY, và ZZ lần lượt là các điểm trên các cạnh ABAB, BCBC, CDCD, và DADA sao cho tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác AWZAWZ, BXWBXW, CYXCYX, và DZYDZY tạo thành một hình bình hành. Chứng minh rằng WXYZWXYZ là một hình bình hành.
Bước 1 trên 3: Các bán kính nội tiếp đối diện bằng nhau nhờ phép chiếu
Bước trướcBước tiếp
r2−r1=I1I2sin⁡θ=I3I4sin⁡θ=r4−r3 ⟹ r1+r4=r2+r3;similarly r1+r2=r3+r4 ⟹ r1=r3, r2=r4r_2-r_1=I_1I_2\sin\theta=I_3I_4\sin\theta=r_4-r_3\ \Longrightarrow\ r_1+r_4=r_2+r_3;\quad\text{similarly }r_1+r_2=r_3+r_4\ \Longrightarrow\ r_1=r_3,\ r_2=r_4
Phân tích chi tiết

Gọi I1,I2,I3,I4I_1,I_2,I_3,I_4 và r1,r2,r3,r4r_1,r_2,r_3,r_4 là tâm và bán kính nội tiếp của △AWZ,△BXW,△CYX,△DZY\triangle AWZ,\triangle BXW,\triangle CYX,\triangle DZY. Vì I1,I2I_1,I_2 cách ABAB các khoảng r1,r2r_1,r_2 còn I3,I4I_3,I_4 cách cạnh song song CDCD các khoảng r3,r4r_3,r_4, và I1I2I_1I_2 song song, bằng I4I3I_4I_3 trong hình bình hành I1I2I3I4I_1I_2I_3I_4, chiếu lên pháp tuyến của ABAB (hợp góc nhọn θ\theta với I1I2I_1I_2) cho r2−r1=r4−r3r_2-r_1=r_4-r_3, tức r1+r4=r2+r3r_1+r_4=r_2+r_3. Chiếu lên pháp tuyến của BCBC tương tự cho r1+r2=r3+r4r_1+r_2=r_3+r_4. Cộng và trừ hai hệ thức cho r1=r3r_1=r_3 và r2=r4r_2=r_4.