Bài 4

Cho

c>0

là số thực dương cho trước và

\mathbb{R}_{>0}

là tập mọi số thực dương. Tìm tất cả các hàm

f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}

sao cho

f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx\quad\text{for all }x,y\in\mathbb{R}_{>0}.

Bước 1 trên 3: Chứng minh cận dưới f(y)≥2y

Bước trước Bước tiếp

f(y)<2y\ \Longrightarrow\ x=\frac{2y-f(y)}{c}>0\ \Longrightarrow\ (c+1)x+f(y)=x+2y\ \Longrightarrow\ 2cx=0,\text{ contradiction}\ \Longrightarrow\ f(y)\ge2y

Phân tích chi tiết

Giả sử $f(y)<2y$ với $y>0$ nào đó. Khi đó $x=(2y-f(y))/c>0$ làm hai đối số $(c+1)x+f(y)$ và $x+2y$ bằng nhau, nên phương trình hàm buộc $2cx=0$ , mâu thuẫn với $c>0$ và $x>0$ . Vậy $f(y)\ge2y$ với mọi $y>0$ .