Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2024

Đề thi

Bài 1Cho tam giác nhọn $ABC$ . Gọi $D$ là điểm trên cạnh $AB$ và $E$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho các đường thẳng $BC$ và $DE$ song song. Gọi $X$ là điểm trong tứ giác $BCED$ . Giả sử các tia $DX$ và $EX$ cắt cạnh $BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$ , với cả $P$ và $Q$ đều nằm giữa $B$ và $C$ . Giả sử đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BQX$ và $CPX$ cắt nhau tại điểm $Y\neq X$ . Chứng minh rằng các điểm $A$ , $X$ , $Y$ thẳng hàng.Các cách giải: 1
Bài 2Xét một bảng $100\times100$ , và đồng nhất ô ở hàng $a$ cột $b$ , $1\le a,b\le100$ , với cặp có thứ tự $(a,b)$ . Gọi $k$ là số nguyên với $51\le k\le99$ . Một $k$ -mã là quân cờ di chuyển một ô theo chiều dọc hoặc ngang và $k$ ô theo chiều còn lại; nghĩa là nó đi từ $(a,b)$ đến $(c,d)$ sao cho $(|a-c|,|b-d|)$ bằng $(1,k)$ hoặc $(k,1)$ . Quân $k$ -mã xuất phát tại ô $(1,1)$ và thực hiện một số nước đi. Một dãy nước đi là một dãy các ô $(x_0,y_0)=(1,1),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ sao cho với mọi $i=1,2,\ldots,n$ , ta có $1\le x_i,y_i\le100$ và quân $k$ -mã có thể đi từ $(x_{i-1},y_{i-1})$ đến $(x_i,y_i)$ . Khi đó mỗi ô $(x_i,y_i)$ được gọi là đến được. Với mỗi $k$ , tìm $L(k)$ , số ô đến được.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $n$ là số nguyên dương và $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.$ Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $t$ , tồn tại duy nhất một hoán vị $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ của $0,1,\ldots,t-1$ sao cho, với mọi $0\le i\le t-1$ , hệ số nhị thức $\binom{t+i}{2a_i}$ là số lẻ và $2a_i\neq t+i$ .Các cách giải: 1
Bài 5Đường thẳng $\ell$ cắt các cạnh $BC$ và $AD$ của tứ giác nội tiếp $ABCD$ lần lượt tại các điểm trong $R$ và $S$ , và cắt tia $DC$ kéo dài quá điểm $C$ tại $Q$ , cắt tia $BA$ kéo dài quá điểm $A$ tại $P$ . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $QCR$ và $QDS$ cắt nhau tại $N\neq Q$ , còn đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAS$ và $PBR$ cắt nhau tại $M\neq P$ . Gọi các đường thẳng $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại điểm $X$ , các đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $K$ , và các đường thẳng $BC$ và $AD$ cắt nhau tại điểm $L$ . Chứng minh rằng điểm $X$ nằm trên đường thẳng $KL$ .Các cách giải: 1